L’obiettivo dell’insegnamento è fornire strumenti per la costruzione, l’analisi e l’interpretazione di modelli matematici differenziali. Tali modelli sono formulati mediante equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali e sono utilizzati per descrivere sistemi dinamici, fenomeni di trasporto, diffusione e propagazione ondosa. L’insegnamento introduce i principali metodi della Fisica Matematica per lo studio di tali modelli, con l’obiettivo di metterne in evidenza proprietà qualitative, comportamento delle soluzioni e significato nei diversi contesti applicativi. Nel corso dell’insegnamento saranno discussi modelli di interesse per diversi ambiti dell’ingegneria, tra cui, ad esempio, l’aerospazio, l’ambiente, la biomedica, la civile, l’elettronica, l’informatica e la meccanica. L’insegnamento costituisce un raccordo naturale tra gli insegnamenti di matematica di base e gli insegnamenti applicativi a fondamento matematico dei corsi di laurea magistrale.

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di: - descrivere i principali fondamenti scientifici e metodologici della Fisica Matematica trattati nel corso; - analizzare qualitativamente modelli differenziali, individuandone proprietà, comportamento delle soluzioni e principali aspetti dinamici; - applicare gli strumenti introdotti nel corso per impostare e risolvere problemi teorici e applicativi; - utilizzare tecniche di calcolo per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali nei casi trattati; - selezionare gli strumenti matematici più adeguati per affrontare semplici problemi modellistici di interesse ingegneristico; - interpretare i risultati ottenuti in relazione al fenomeno descritto dal modello.

Sono richieste le conoscenze di base di Analisi I e Analisi II, in particolare calcolo differenziale e integrale in una e più variabili e algebra lineare di base. È inoltre richiesta la capacità di utilizzare questi strumenti per impostare e risolvere semplici problemi matematici e modellistici.

L’insegnamento è articolato in due parti. Parte I – Equazioni differenziali ordinarie (30 ore) - Introduzione alla modellistica matematica. - Equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine e principali metodi risolutivi, inclusa la trasformata di Laplace e la sua applicazione a problemi differenziali. - Sistemi dinamici non lineari: configurazioni di equilibrio, stabilità lineare, sistemi conservativi e tecniche di stabilità non lineare. - Biforcazioni e dinamiche qualitative: punti e diagrammi di biforcazione, classificazione delle biforcazioni, attrattori, isteresi, bistabilità, cicli limite e teorema di Hopf. - Modelli a tempo discreto (cenni): mappe iterate, metodo della ragnatela e cascata di biforcazioni. - Metodi perturbativi per equazioni differenziali: perturbazioni regolari e singolari, metodo di Poincaré e di Lindstedt-Poincaré, con applicazioni all’equazione di Duffing. - Applicazioni a modelli meccanici, elettrici, biologici, epidemiologici e chimici, con cenni a dinamiche caotiche. - Applicazioni quali ad esempio oscillatore armonico forzato e non forzato, modelli di caduta in presenza di viscosità, pendolo, pendolo centrifugo, orologio meccanico, instabilità di fluttering, line galloping, circuiti elettrici RLC, oscillatore di Van der Pol, modelli di dinamica delle popolazioni (modello di Lotka-Volterra), modelli epidemiologici (SIR e applicazioni COVID), modelli di reazioni chimiche (Brusselator), modello di Lorenz per la convezione atmosferica e cenni a moti caotici. Parte II – Equazioni alle derivate parziali (30 ore) - Classificazione dei principali modelli matematici alle derivate parziali: equazioni paraboliche, ellittiche e iperboliche. - Leggi di bilancio e di conservazione. - Equazione di diffusione: derivazione e proprietà della soluzione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni, quali diffusione di inquinanti e conduzione del calore. Cenni alle equazioni di reazione-diffusione e onde viaggianti con particolare riferimento all’equazione di Fisher-KPP. Cenni alla derivazione microscopica di modelli diffusivi. - Problema stazionario. Configurazioni asintotiche e profili stazionari di fenomeni diffusivi. Equazione di Laplace ed equazioni ellittiche, con cenni ad applicazioni quali il profilo di una membrana e il flusso attorno a un cilindro circolare. - Equazione del trasporto lineare: formulazione del problema matematico, proprietà, metodi risolutivi e metodo delle caratteristiche. - Equazioni di trasporto non lineari: onde d’urto e onde di rarefazione. Esempi e applicazioni, quali il traffico veicolare. Cenni alle equazioni di convezione-diffusione. - Equazione delle onde: formulazione del problema matematico e proprietà. Soluzione di d’Alembert. Esempi e applicazioni in domini limitati, quali corda vibrante e frequenza fondamentale, vibrazione di una trave ed equazione dei telegrafisti.

L’insegnamento prevede 40 ore di lezione e 20 ore di esercitazione. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma e dei principali metodi trattati nel corso, anche attraverso esempi introduttivi. Le esercitazioni sono dedicate allo svolgimento di esercizi, problemi applicativi e temi d’esame. L’insegnamento si svolge in modalità mista: le attività si tengono in aula e sono contemporaneamente trasmesse in diretta streaming sulla virtual classroom. Al termine di ciascuna lezione, gli appunti proiettati e le registrazioni sono resi disponibili sul Portale della Didattica.

Materiale di riferimento: Appunti delle lezioni e materiale didattico caricati progressivamente sul Portale della Didattica. Il materiale fornito durante il corso è sufficiente per la preparazione dell’esame. Approfondimenti facoltativi: D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009.

Slides; Esercizi; Video lezioni dell’anno corrente;

E' possibile sostenere l?esame in anticipo rispetto all?acquisizione della frequenza

Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... L’esame ha l’obiettivo di verificare la conoscenza e la comprensione degli argomenti trattati nell’insegnamento, nonché la capacità di applicare i metodi e le tecniche appresi all’analisi qualitativa e alla risoluzione di problemi e modelli differenziali, in coerenza con i risultati di apprendimento attesi. L’esame consiste in una prova scritta della durata di 120 minuti, composta da 4 esercizi a risposta aperta e da un quesito teorico-concettuale, senza dimostrazioni. La prova scritta è finalizzata ad accertare la capacità di impostare e risolvere problemi, applicare i principali metodi introdotti nel corso e interpretare i risultati ottenuti. Durante la prova non è consentito l’uso di calcolatrici, formulari o altro materiale didattico; il solo formulario consentito è quello relativo alla trasformata di Laplace, che sarà fornito insieme al testo dell’esame scritto. Il punteggio massimo conseguibile nella prova scritta è 30/30 e lode. I risultati della prova scritta sono comunicati tramite il Portale della Didattica. Esempi di temi d’esame saranno resi disponibili sul Portale della Didattica. Lo studente che abbia conseguito nella prova scritta una valutazione non inferiore a 18/30 può richiedere, in modo facoltativo, una prova orale aggiuntiva su argomenti teorici trattati nel corso. La prova orale può confermare, aumentare o ridurre il voto della prova scritta. La lode è attribuita in presenza di una prova scritta eccellente o, nel caso di prova orale, di una preparazione teorica particolarmente solida.

Gli studenti e le studentesse con disabilita o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unita Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione piu idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.