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Enumerative Geometry: from Classical Problems to Modern Physics
01WZHUR
A.A. 2026/27
Course Language
Inglese
Degree programme(s)
Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino
Course structure
| Teaching | Hours |
|---|---|
| Lezioni | 25 |
Lecturers
| Teacher | Status | SSD | h.Les | h.Ex | h.Lab | h.Tut | h.Sem | Years teaching |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antonelli Vincenzo | Ricercatore L240/10 | MATH-02/B | 12,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Co-lectures
Context
| SSD | CFU | Activities | Area context | *** N/A *** | 5 |
|---|
La geometria enumerativa è un ramo classico della matematica che si occupa di contare oggetti geometrici che soddisfano condizioni prefissate. Risale agli antichi Greci: ad esempio, un celebre problema in questo ambito è il problema di Apollonio, che consiste nel trovare gli otto cerchi tangenti ad altri tre nel piano. Nel XIX secolo questi problemi sono stati formalizzati utilizzando il linguaggio matematico moderno. La domanda guida della geometria enumerativa può essere formulata semplicemente: "Quante strutture geometriche di un dato tipo soddisfano un insieme specificato di vincoli geometrici?" Nonostante questa formulazione elementare, molti problemi fondamentali sono rimasti inaccessibili per gran parte del XX secolo. Recenti progressi significativi sono emersi da idee provenienti dalla fisica teorica, in particolare dalla teoria delle stringhe, che ha introdotto nuovi e potenti strumenti.
Questo corso persegue due obiettivi principali. In primo luogo, fornisce una panoramica ampia della geometria enumerativa, partendo da problemi classici (come il conteggio di rette e coniche) e arrivando agli sviluppi moderni e alle questioni aperte, incluse quelle relative alle ipersuperfici quintiche e alle loro connessioni con la fisica. In secondo luogo, utilizza la geometria enumerativa come quadro unificante per introdurre strutture fondamentali che svolgono un ruolo centrale nella geometria algebrica contemporanea.
Enumerative geometry is a classical branch of mathematics concerned with counting geometric objects satisfying prescribed conditions. It dates back to ancient Greeks: for instance a famous example in this area is the Apollonian problem of finding the eight circles tangent to another three on the plane. In the nineteenth century these problems were formalised using modern mathematical language. The guiding question of enumerative geometry can be phrased simply: ``How many geometric structures of a given type meet a specified set of geometric constraints?" Despite this elementary formulation, many fundamental problems remained inaccessible throughout much of the twentieth century. Remarkably, significant progress emerged from ideas originating in theoretical physics, particularly string theory, which introduced powerful new perspectives and tools.
This course pursues two main objectives. First, it provides a broad overview of enumerative geometry, starting from classical problems -such as counting lines and conics- and progressing toward modern developments and open questions, including those related to quintic hypersurfaces and their connections with physics. Second, it uses enumerative geometry as a unifying framework to introduce key structures that play a central role in contemporary algebraic geometry.
Conoscenze base di geometria differenziale e geometria algebrica. A seconda delle necessità dei partecipanti possono essere aggiunte alcune lezioni introduttive.
Very basic knowledge of differential geometry and algebraic geometry. Depending on the requirements and necessities of the participants, some introductory lessons can be added to the topics.
Questa è una proposta di programma che potrà essere modellato a seconda degli interessi e background dei partecipanti.
- Problemi classici in geometria enumerativa; spazi proiettivi;
- Geometria enumerativa piana e Teorema di Bézout;
- Introduzione a teoria dell'intersezione: classi di Chern e anello di Chow;
- Esempi: Grassmanniane, quadriche e cubiche;
- Curve razionali sulla quintica e congettura di Clemens;
- Da geometria enumerativa a fisica moderna: mirror symmetry e quintica di P^4.
This is a tentative proposal of the contents of the course which can be modeled according to the interests and background of the participants.
- Classical problems in enumerative geometry; projective spaces;
- Plane enumerative geometry and Bézout's Theorem;
- Introduction to intersection theory: Chern classes and Chow ring;
- Selected examples: Grassmannians, quadrics and cubics;
- Rational curves on the quintic threefold and Clemens' conjecture;
- From enumerative geometry to modern physics: mirror symmetry and the quintic threefold.
In presenza
On site
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.2-2 - Marzo
P.D.2-2 - March