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An introduction to the weak-formulation of the Navier-Stokes equations: analytic and numerical methods
01WZSUR
A.A. 2026/27
Course Language
Inglese
Degree programme(s)
Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino
Course structure
| Teaching | Hours |
|---|---|
| Lezioni | 24 |
Lecturers
| Teacher | Status | SSD | h.Les | h.Ex | h.Lab | h.Tut | h.Sem | Years teaching |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Audrito Alessandro | Professore Associato | MATH-03/A | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Co-lectures
Context
| SSD | CFU | Activities | Area context | *** N/A *** | 4 |
|---|
Il corso introduce i fondamenti teorici di base delle equazioni di Navier–Stokes insieme ad alcuni metodi numerici correlati. Costruiremo le soluzioni deboli di Leray–Hopf e ne discuteremo le proprietà di regolarità nel caso in cui lo spazio ambiente abbia dimensione 2.
Dal punto di vista computazionale, il corso offre una breve panoramica delle discretizzazioni agli elementi finiti per il problema di Stokes, con particolare attenzione al ruolo delle condizioni di stabilità. Si esaminerà come queste tecniche si estendano alle equazioni non lineari di Navier–Stokes, mettendo in evidenza le difficoltà che emergono nella pratica, tra cui il trattamento dei vincoli di incomprimibilità, la sensibilità ai parametri fisici (ad esempio viscosità e numero di Reynolds) e l’impatto della non linearità sulla stabilità numerica.
The course introduces the basic, yet foundational, theory of the Navier-Stokes equations and some related numerical methods. We will construct the Leray-Hopf weak solutions and discuss their regularity properties when the ambient space has dimension 2.
On the computational side, the course provides a brief overview of finite element discretizations for the Stokes problem, emphasizing the role of stability conditions. We will examine how these techniques extend to the nonlinear Navier–Stokes equations, highlighting challenges that arise in practice, including the treatment of incompressibility constraints, sensitivity to physical parameters (e.g., viscosity and Reynolds number), and the impact of nonlinearity on numerical stability.
Conoscenze di base di analisi funzionale e spazi di energia, formulazione variazionale delle equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche e paraboliche di ordine 2, teoria degli elementi finiti.
Basic knowledge of functional analysis and energy spaces, weak formulation of 2nd order elliptic and parabolic partial differential equations, finite element theory.
- Parte 1 (Analisi Matematica):
- Richiami: analisi funzionale, spazi di energia, teoremi di compattezza, teoria delle soluzioni deboli dell’equazione del calore.
- Teorema di esistenza di soluzioni di Leray-Hopf.
- Regolarità delle soluzioni in dimensione 2.
- Parte 2 (Analisi Numerica):
- Richiami: formulazione debole del problema di Stokes/NS e breve introduzione allo spazio agli elementi finiti misti.
- Stabilità numerica (inf-sup discreta) e problema della incompribilità discreta (schemi divergence-free).
- Cenni su diffusione numerica, High Reynolds e modelli di turbolenza.
- Part 1 (Mathematical Analysis):
- Review: functional analysis, energy spaces, compactness theorems, theory of the weak solutions to the heat equation
- Existence of Leray-Hopf solutions
- Regularity of solutions in dimension 2
- Part 2 (Numerical Analysis):
- Review: weak formulation of the Stokes/Navier–Stokes problem and brief introduction to mixed finite element spaces
- Numerical stability (discrete inf-sup condition) and the issue of discrete incompressibility (divergence-free schemes)
- Notes on numerical diffusion, high Reynolds numbers, and turbulence models
In presenza
On site
Presentazione orale - Presentazione report scritto - Sviluppo di project work in team
Oral presentation - Written report presentation - Team project work development
P.D.1-1 - Novembre
P.D.1-1 - November