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Anno Accademico 2009/10
01EAUFN
Elementi di geometria differenziale
Corso di Laurea in Matematica Per Le Scienze Dell'Ingegneria - Torino
Docente Qualifica Settore Lez Es Lab Tut Anni incarico
Musso Emilio ORARIO RICEVIMENTO PO MAT/03 40 16 0 0 3
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/03 5 B - Caratterizzanti Formazione algebrico-geometrica
Obiettivi dell'insegnamento
Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento sia ai contenuti dei corsi di Algebra, Analisi Matematica e Geometria. L'obbiettivo Ŕ di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali della geometri differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali.ca.
Competenze attese
CapacitÓ di formalizzare problemi geometrici e di utilizzare le tecniche di analisi matematica (sistemi di equazioni differenziali ordinarie, funzioni olomorfe etc.) nello studio delle curve e superfici (geodetiche, deformazioni isometriche, superfici minimali).
Prerequisiti
Geometria, Algebra e Analisi matematica II
Programma
GeneralitÓ sulle curve parametrizzate
Curve parametrizzate di R^n . VelocitÓ, accelerazione. Curve regolari. Vettore tangente e retta tangente. Riparametrizzazioni e curve equivalenti. Esempi: moti elicoidali, spirali di Archimede, trocoidi, epicicloidi e ipocicloidi. Ascissa curvilinea e parametrizzazioni mediante l'ascissa curvilinea (curve con velocitÓ costante) Significato geometrico dell'ascissa curvilinea. Curve di classe C^1 sono rettificabili e calcolo della lunghezza dell'arco di curva mediante l'ascissa curvilinea. Parametrizzazione numerica di curve mediante l'ascissa curvilinea.

Curve piane
Diedro di Frenet e curvatura. Calcolo del diedro di Frenet e della curvatura con Mathematica . Visualizzazione del diedro di Frenet e della curvatura. Esempi : curvatura della parabola, dell'ellisse e della catenaria. Come cambia la curvatura se la curva viene riparametrizzata. Curve congruenti hanno la stessa curvatura. Una classe di esempi: le curve di Grandi Curve piane in forma polare.
Curve con curvatura assegnata. Soluzione numerica del problema. Comportamento qualitativo delle curve con curvatura periodica.
La funzione angolare. Come ricavare le curve parametrizzate con ascissa curvilinea mediante due quadrature. Numero di rotazione di una curva chiusa e suo significato geometrico. Esempi : numero di rotazione della rosace, della lemniscata di Gerono e dell'ellisse.
Curve piane definite implicitamente. Come parametrizzare le curve implicite liscie. Risoluzione numerica del problema. Esempio : parametrizzazione mediante ascissa curvilinea delle cubiche liscie. Famiglie ad un parametro di curve. Inviluppi. Inviluppi di famiglie ad un parametro di rette. Esempi : epicilcoidi e ipocicloidi come inviluppi. Evolute. La catenaria come evoluta della trattrice. Caustiche per riflessione. Esempi : caustiche per riflessione delle circonferenze. ProprietÓ focali delle coniche. Evolute. Le evolute dellecirconferenze.
Curve parallele e il principio di Huygens.

Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie e il sistema di Frenet
Sistema differenziale X' = XA. Esistenza ed unicitÓ, il problema della chiusura se i coefficienti sono periodici e la nozione di monodromia

Curve dello spazio
Esempi : moti rotatori, rotazioni inifinitesimali e curve descritte mediante composizione di due moti rotatori dello spazio.
Triedro di Frenet delle curve biregolari. Retta tangente, normale e binormale Piano normale, osculatore e rettificante.
Eliche circolari. Curvatua e torsione. Formule per il calcolo della curvatura e della torsione. Programmi per calcolo e visualizzazione del triedro di Frenet, della curvatura e della torsione. Il teorema fondamentale della geometria delle curve sghembe. Programma per il calcolo numerico delle curve con velocitÓ, curvatura e torsione assegnate. Eliche generalizzate o curve con pendenza costante.
Eliche su spirali logaritmiche e eliche sferiche (i.e. eliche su epicicloidi)

Superfici parametrizzate
Sulla nozione di superficie parametrizzata Equivalenza di superfici parametrizzate Costruzione di superfici parametrizzate : superfici di rotazione (sfera e catenoide), superfici modanate e generalizzazioni (elicoide e superfici del Dini), superfici rigate (coni, cilindri, tangenziali sviluppabili, rigate normali e binormali)
Spazio tangente, curve tracciate su superfici, cambi di parametri, superfici definite implicitamente ( 8/4 2h).

Spazio tangente Retta normale (per superfici dello spazio) e mappa di Gauss Curve tracciate su superfici
Cambio dei parametri Superfici definite implicitamente, loro parametrizzazioni locali, le quadriche liscie e costruzione di superfici di genere g.

Superfici
La sfera come superficie liscia (con carte di Monge o con le proiezioni stereografiche. Il piano proiettivo come superficie liscia di R^6 e la superficie romana di Steiner. Atlante differenziabile di una superficie liscia e cenni sulla nozione di varietÓ differenziabile bidimensionale. OrientabilitÓ e superfici orientate. Cenni sulla realizzabilitÓ di una superficie astratta in uno spazio Euclideo

Prima forma quadratica, metriche Riemanniane
La prima forma quadratica fondamentale.Curvatura geodetica di una curva rispetto ad una metrica Riemanniana e geodetiche.Derivazione covariante di Levi-Civita e simboli di Christoffel.La curvatura sezionale di una metrica Riemanniana.Metriche Riemanniane con curvatura sezionale costante.Cenni al problema dell'immersione isometrica e al teorema di Gauss-Bonnet
Trasporto parallelo e geodetiche.

Seconda forma quadratica
Applicazione di Gauss e seconda forma quadratica fondamentale di una superficie parametrizzata. Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media. Il teorema Egregium di Gauss.Equazioni di Gauss, Codazzi-Mainardi.Il teorema fondamentale per le superfici parametrizzate dello spazio
Laboratori e/o esercitazioni
Per ogni argomento sono state svolte esercitazioni mirate al calcolo simbolico e/o numerico di esempi e classi rilevanti di curve o superfici. Particolare attenzione e' stata posta nella visualizzazione. Il software utilizzato e' Mathematica 7. Il materiale (Notebook Laboratori 1,2,3,4) si trova sul sito docente del titolare, Prof. Emilio Musso, 01EAUFN, elementi di geometria differenziale, Materiale.
Bibliografia
E.Abbena, A.Gray, S.Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC
F.Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
Sono stati messi a disposizione degli studenti
files pdf relativi a parti del libro di testo (con concessione degli autori)
testi di esercizi e/o prove d'esame.
Notebook contenenti gli argomenti trattati durante il corso.
Tutto il materiale si trova sul sito docente del Prof. Emilio Musso, 01EAUFN, elementi di geometria differenziale, Materiale.
Verifica la disponibilita in biblioteca
Controlli dell'apprendimento / ModalitÓ d'esame
Tre esercitazioni scritte in itinere (con autovalutazione dal parte dello studente).
L'esame finale consiste in una prova scritta mirata ad evidenziare il livello di apprendimento mediante esercizi. La formulazione degli stessi e' congeniata in modo che la loro risoluzione richieda non solo un'adeguata capacita' di calcolo, ma anche una comprensione approfondita dei concetti e dei risultai teorici trattati e dimostrati nelle lezioni.
Orario delle lezioni
Statistiche superamento esami

Programma provvisorio per l'A.A.2009/10
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