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Anno Accademico 2009/10
01NUQKK
Metodi numerici per equazioni a derivate parziali stocastiche
Dottorato di ricerca in Matematica Per Le Scienze Dell'Ingegneria - Torino
Docente Qualifica Settore Lez Es Lab Tut Anni incarico
Canuto Claudio ORARIO RICEVIMENTO PO MAT/08 10 0 0 0 1
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
*** N/A ***    
Obiettivi dell'insegnamento
FinalitÓ del corso:
Il corso vuole essere una breve introduzione al trattamento numerico delle equazioni a derivate parziali stocastiche, dette anche 'equazioni a derivate parziali a coefficienti stocastici'. Con cio' intendiamo quelle equazioni in cui alcuni dati (quali i coefficienti veri e propri dell'operatore differenziale, il termine noto, le condizioni al bordo e/o iniziali, lo stesso dominio in cui e' posta l'equazione, etc.) dipendono, oltreche' dallo spazio e dal tempo, anche da variabili aleatorie.

Nell'ultimo decennio esse hanno attirato una attenzione crescente, finalizzata allo sviluppo di metodi numerici piu' performanti e precisi rispetto ai classici metodi perturbativi o di tipo Monte Carlo in diverse situazioni applicative ad alta complessita'. Un aspetto comune a varie famiglie di tali metodi consiste nella preliminare trasformazione del problema in un problema puramente deterministico, al prezzo della crescita della sua dimensionalita', dovuta all'introduzione di nuove variabili. Esse rappresentano, in un opportuno senso, i 'coefficienti' della soluzione (intesa come variabile aleatoria incognita) rispetto a una opportuna base (infinita, prima della discretizzazione) di variabili aleatorie indipendenti. Il cosiddetto 'caos polinomiale' (classicamente di Hermite, ma generalizzabile a famiglie di polinomi ortogonali qualunque) ne e' un esempio. L'espansione di Karhunen-Loewe dei dati di ingresso e' sovente il punto di partenza per definire tali rappresentazioni.

Il trattamento numerico del nuovo problema viene effettuato attraverso tecniche di Galerkin spettrali (con o senza integrazione numerica), ad elementi finiti o spettrali, o di collocazione. Un aspetto fondementale per l'efficienza del metodo riguarda il ricorso ad espansioni (nello spazio delle frequenze) o a griglie (nello spazio fisico) di tipo sparso e adattativo, per evitare la crescita esponenziale del numero di incognite al crescere della dimensione del problema.

L'interesse per queste tematiche di ricerca ha suggerito all'INDAM di dedicare ad esse un intero Workshop, nell'ambito del Trimestre Intensivo su 'Innovative Numerical Methods for PDE's' che si terra' nella primavera 2010. Il Workshop, su 'Numerical Solution of Stochastic Partial Differential Equations" avra' luogo dal 10 al 13 maggio 2010 presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino, organizzato dal proponente e da Fabio Nobile (MOX, PoliMi). Il corso di Dottorato proposto puo' essere considerato come un 'tutorial' per permettere di seguire proficuamente il Workshop; la frequenza attiva al Workshop potrebbe essere capitalizzata dallo studente attraverso l'acquisizione di ulteriori crediti (ad esempio 2 CFU per il corso di Dottorato + 2CFU per la frequenza al Workshop, ovviamente a valle di una rigorosa valutazione).




Aims of course:
The course aims at giving a short introduction to the numerical treatment of stochastic partial differential equations, also known as 'partial differential equations with stochastic coefficients'. By this it is meant those pde's in which some data (such as the coefficients themselves of the differential operator, the right-hand side, the boundary and/or initial conditions, the domain in which the equation is posed, and so on) depend upon certain random variables, in addition to space and time.

In the last decade, such equations have attracted considerable interest, finalized to the development of more efficient and accurate numerical methods, compared to the classical perturbation methods or Monte-Carlo methods, in different applications involving high-complexity. A feature which is common to various classes of such methods consists in the preliminary transformation of the problem in a purely deterministic problem, at the cost of increasing its dimensionality due to the introduction of new variables. These represent, in a suitable sense, the 'coefficients' of the solution (considered as an unknown random variable) with respect to a suitable basis (of infinite cardinality, prior to discretization) of independent random variables. The so-called Polynomial Chaos (classically of Hermite type, but actually extendable to arbitrary families of orthogonal polynomials) is an example. The Karhunen-Loeve expansion of the input data is often the starting point for such representations.

The discretization of the transformed problem is carried on via spectral Galerkin techniques (with or without numerical integration), by spectral or finite elements, or by collocation. A fundamental aspect for the efficiency of the method concerns the use of sparse or adaptive expansions (in frequency space) or grids (in physical space), in order to avoid the exponential growth of the number of degrees of freedom, as the dimensionality of the problem grows.

The interest for these research topics recently suggested INDAM (National Institute for Higher Mathematics) to devote an entire workshop to them, in the framework of the Intensive Trimester on 'Innovative Numerical Methods for PDE's', planned for Spring 2010. The workshop, on 'Numerical Solution of Stochastic Partial Differential Equations", will be organized in May 10-13 2010 at the Department of Mathematics of the Politecnico di Torino, by the proposer and by Fabio Nobile (MOX, PoliMI). So the Course can be viewed as a 'tutorial' for a profitable attendance of the workshop; a PhD student who will also attend the workshop could obtain additional credits (e.g. 2 more CFU's), obviously after a careful evaluation.


Programma
Programma del corso:
1. Introduzione alle equazioni a derivate parziali stocastiche
2. Formulazione matematica
3. Richiami critici sui metodi di tipo Monte Carlo
4. Espansioni di Karhunen-Loeve
5. Il caos polinomiale
6. Metodi di Galerkin ed elementi finiti stocastici
7. Metodi di collocazione ' metodi non intrusivi
8. Il problema dell'alta dimensionalita'
9. Discretizzazioni sparse, metodi adattativi
10. Applicazioni

Course contents:
1. Introduction to stochastic PDE's
2. Mathematical formulation
3. Critical review of Monte-Carlo type methods
4. Karhunen-Loeve expansions
5. The Polynomial Chaos
6. Galerkin methods and stochastic finite elements
7. Collocation methods ' non-intrusive methods
8. The curse of dimensionality
9. Sparse discretizations, adaptive methods
10. Applications

tutte le lezioni si svolgeranno nell'Aula Seminari del Dipartimento di Matematica:

venerdi 9 aprile, ore 14.30-16.30
venerdi 16 aprile, ore 14.30-16.30
venerdi 23 aprile, ore 14.30-16.30
venerdi 30 aprile, ore 14.30-16.30
venerdi 7 maggio, ore 14.30-16.30.

Il corso e' propedeutico al Workshop INDAM su:
"Numerical Solution of Stochastic Partial
Differential Equations",
che si svolgera dal 10 al 13 maggio presso il
Dipartimento di Matematica.
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA/REFERENCES

- Ghanem, R., Spanos, P.D.: Stochastic Finite Elements---A Spectral Approach. Springer, Berlin (1991)
- Xiu, D., Karniadakis, G.E.: The Wiener-Askey polynomial chaos for stochastic differential equations. SIAM J. Sci. Comput. 24, 619--644 (2002)

- Canuto, C., Kozubek, T., A fictitious domain approach to the numerical solution of PDEs in stochastic domains, Numer. Math, 107 (2007), 257-293.
- Canuto, C., Fransos, D., Numerical solution of partial differential equations in random domains: an application to wind engineering. Commun. Comput. Phys., 5 (2009), 2-4, 515-531.
- L. Bruno, C. Canuto, D. Fransos, Stochastic aerodynamics and aeroelasticity of a flat plate via generalized Polynomial Chaos, J. Fluid and Structures, 25 (2009), 1158-1176.



Orario delle lezioni
Statistiche superamento esami

Programma provvisorio per l'A.A.2009/10
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