L’ obiettivo principale dell'insegnamento Istituzioni di Algebra e Geometria è di completare la formazione di base dello studente con riferimento sia ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica che di Geometria. Vengono infatti presentati elementi di algebra e topologia, preceduti da una introduzione riguardante i fondamenti della matematica.

- Apprendimento del linguaggio di base e delle tecniche di ragionamento propri di questi settori della matematica.
- Applicazione delle conoscenze acquisite alla formalizzare semplici problemi algebrici e topologici.
- Acquisizione delle capacità di risolvere semplici problemi relativi agli argomenti trattati.
- Conoscenza della terminologia e dei risultati di base necessari per affrontare la consultazione di testi di algebra e topologia.

L'insegnamento presuppone che gli studenti conoscano gli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I e di Algebra Lineare e Geometria.

ALGEBRA (5cfu)
Corrispondenze e funzioni.
Relazioni d’equivalenza e d’ordine.
Assioma della scelta e lemma di Zorn.
Numerabilita’ di un insieme: cenni sulla cardinalità.
Principio di induzione forte e debole.
Numeri interi, classi di resto, numeri primi, fattorialità, algoritmo euclideo.
Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali: esempi (gruppi abeliani finiti, gruppi di matrici, gruppo diedrale, gruppo simmetrico).
Omomorfismi di gruppi.
Anelli, sottoanelli e ideali: esempi (numeri interi, anello dei polinomi, anello delle matrici quadrate). Omomorfismi di anelli.
Campi e corpi: esempi (Q, R, C, H, O, campo delle funzioni razionali).
Campi finiti e infiniti, estensioni algebriche e trascendenti.
Cenni di crittografia.

TOPOLOGIA (5cfu)
Insiemi. Cardinalità.
Spazi metrici e loro proprietà. Funzioni continue e isometrie.
Spazi topologici. Intorni e insiemi chiusi. Spazi di Hausdorff. Topologia indotta. Topologia associata a una metrica.
Base di una topologia e basi di intorni.
Parte interna, chiusura, derivato e frontiera di un insieme. Insiemi densi. Limiti e chiusura negli spazi metrici.
Funzioni continue, funzioni aperte e chiuse, omeomorfismi. Proprietà di separazione.
Topologia prodotto.
Connessione. Componenti connesse. Prodotto di spazi connessi. Connessione per archi.
Compattezza. Prodotto di spazi compatti. Teorema di Heine-Borel e compattezza per successioni.
Successioni di Cauchy in spazi metrici, spazi metrici completi e completezza di R e di R^n
Topologia quoziente. Spazi proiettivi.
Varietà topologiche e superfici.

L'insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula.

A. Conte, L. Picco Botta, D. Romagnoli, Algebra, Levrotto e Bella.
M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri.
P. Shick Topology, Wiley.
C.Kosniowski Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli.
V. Checcucci - A.Tognoli - E. Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli.
S. Lipschutz, Topologia: teoria e problemi di... Collana Schaum 39. ETAS
B. Mendelson Introduction to topology, Dover.
T. Gamelin, Introduction to topology, Dover

L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti sopra elencati, nonché la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla soluzione di esercizi e alla dimostrazione di semplici enunciati. L’esame è costituito da un orale obbligatorio, cui si accede superando una prova scritta.
SCRITTO
Durante lo scritto non si possono portare in aula libri di alcun tipo, appunti del corso, strumenti di calcolo e comunicazione.
L’esame scritto è articolato in due parti, una di algebra e una di topologia, ciascuna della durata di 60 minuti. Per ciascuna parte si richiede di affrontare e risolvere degli esercizi (di norma 2 o 3), ciascuno strutturato in vari punti.
Lo scritto si intende superato qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 15/30 in ciascuna delle due parti di cui esso si compone.

ORALE
L'orale dell’esame deve essere sostenuta nell’appello in cui si è superato lo scritto.
L’esame orale è anch’esso articolato in due parti, una di algebra e una di topologia. Esso è rivolto ad accertare una adeguata conoscenza della teoria discussa nel corso e include la discussione della corrispondente parte dello scritto.
A conclusione dell’orale, per ciascuna delle parti di cui esso si compone, verrà assegnato un punteggio compreso fra -15/30 e 15/30.

VOTO FINALE
Per ciascuna delle due parti di algebra e di topologia verrà assegnato un punteggio dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nello scritto e dell’orale di quella parte.
L’esame si considera superato qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 18/30 in ciascuna delle due parti. In tal caso il voto finale sarà ottenuto arrotondando per eccesso la media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due parti.