Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica, Geometria e Istituzioni di Algebra e Geometria. L’obiettivo è di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali della geometria differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali.

- Capacità di formalizzare problemi geometrici e di utilizzare le tecniche di analisi matematica (sistemi di equazioni differenziali ordinarie nozioni di base sulla teoria delle funzioni olomorfe etc.) nello studio delle curve e superfici.
- Applicazione delle conoscenze acquisite mediante l’uso del software Mathematica nella soluzione di esercizi e nella modellazione geometrica di problemi teorici.

L’insegnamento presuppone che gli studenti conoscano gli argomenti trattati nel corsoi di Analisi matematica I, Geometria, Analisi matematica II e Istituzioni di Algebra e Geometria.

1. Curve parametrizzate degli spazi Euclidei. Traiettoria di una curva parametrizzata. Curve regolari e retta tangente. Punti di flesso e curve bi-regolari. Il piano osculatore. Cambi di parametro. Ascissa curvilinea e parametrizzazioni mediante l'ascissa curvilinea. Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva e curve rettificabili. Rettificabilità delle curve di classe C1. Curve piane definite implicitamente. Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione di una curva piana data in forma implicita.

2. Curve dello spazio Euclideo . Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie.
Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Formule di Frenet. Calcolo della curvatura e della torsione. Esempi e programmi di calcolo. Caratterizzazione delle curve piane.
Invarianza per cambi di parametro. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con velocità, curvatura e torsione assegnate. Come determinare numericamente le curve con curvatura e torsione assegnata. Linking e self-linking numbers.

3. Superfici parametrizzate dello spazio Euclideo Superfici topografiche e grafici di funzioni. Superfici di rotazione, superfici rigate, superfici modanate e tubi. Spazio tangente e retta normale. Superfici definite in forma implicita. Esistenza delle parametrizzazioni locali delle superfici definite implicitamente. Costruzione di superfici chiuse e limitate di genere g. Un cenno sul teorema di classificazione delle superfici chiuse e limitate dello spazio Euclideo

4. Superfici liscie degli spazi Euclidei n-dimensionali. Parametrizzazioni e carte locali, funzioni di transizione e l'atlante differenziabile. Carte e atlanti di Monge. Funzioni differenziabili. Superfici diffeomorfe. Vettori tangenti e campi vettoriali. Curve integrali dei campi vettoriali. Orientabilità e atlanti orientati. Il nastro di Moebius. Caratterizzazione dell'orientabilità di superfici nello spazio Euclideo. Orientabilità delle superfici compatte dello spazio Euclideo. Integrazione sulle superfici. Grado di una mappa tra superfici compatte.

5. La prima forma quadratica di una superficie I coefficienti locali della prima forma quadratica Isometrie e isometrie locali. La distanza indotta dalla prima forma quadratica. La derivazione covariante di Levi-Civita e i simboli di Christoffel Esempi e programmi di calcolo per i simboli di Christoffel. La curvatura sezionale. Esempi e programmi di calcolo. Invarianza per isometrie. Enunciato del teorema di Gauss-Bonnet . Geodetiche.

6. La seconda forma quadratica La mappa di Gauss, l'operatore forma e la seconda forma quadratica. Coefficienti dell'operatore forma e della seconda forma quadratica.
Programmi di calcolo ed esempi : superfici topografiche. Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media. Programmi di calcolo ed esempi. Congruenza ed equivalenza di superfici. Superfici totalmente ombelicali. Equazioni di Gauss (teorema "egregium") ed equazioni di Codazzi-Mainardi. Curvatura totale e grado della mappa di Gauss. Il teorema fondamentale della geometria locale delle superfici dello spazio Euclideo.

L’insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula. Per ogni argomento saranno svolte esercitazioni mirate al calcolo simbolico e/o numerico e alla visualizzazione di esempi e classi rilevanti di curve o superfici. Il software utilizzato e’ Mathematica. Il materiale si trova sul sito docente del titolare, Prof. Emilio Musso, 01PPYMQ, Geometria differenziale e computazionale, Materiale.

E.Abbena, A.Gray, S.Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC
F.Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
Sono messi a disposizione degli studenti
- testi di esercizi e/o prove d’esame.
- Notebook contenenti gli argomenti trattati durante il corso.
Tutto il materiale si trova sul sito docente del Prof. Emilio Musso, 01PPYMQ, Geometria differenziale e computazionale, Materiale.

L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma del corso e la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla soluzione di esercizi. La valutazione è basata su due progetti da svolgere durante il corso e in una prova scritta di della durata di un’ora divisa in due parti, ognuna della durata di un’ora.
I progetti sono finalizzati all’accertamento della preparazione nella modellazione e nella soluzione mediante tecniche numeriche e/o simboliche di problemi che nascono dalla teoria svolta nelle lezioni in aula. I progetti consistono nello sviluppare in maniera autonoma aspetti computazionali relativi a problemi la cui struttura teorica è stata preventivamene discussa in aula.
La prima parte della prova scritta è relativa alla risoluzione di esercizi ed ha come obiettivo di accertare la capacità di risoluzione di quesiti e calcoli (sia simbolici che numerici) inerenti gli argomenti trattati nel corso. E’ articolata in un problema strutturato in 3-4 punti. Il problema proposto avrà un livello di difficoltà non superiore a quello dei problemi ed esercizi svolti nelle Esercitazioni e si ispireranno agli esercizi ed agli esempi che si trovano nel materiale didattico del corso. Durante la prima parte della prova è consentito l’uso degli appunti e delle dispense del corso.
La seconda parte della prova scritta sarà rivolta ad accertare una adeguata conoscenza della teoria trattata nelle lezioni e potrà includere sia l’illustrazione di concetti e definizioni sia la dimostrazione di teoremi e proprietà discusse durante le lezioni in aula. Nella seconda parte le prove è vietato l'utilizzo degli appunti, delle dispense e non è permesso l’uso di apparecchiature elettroniche.

Il voto finale viene determinato tenendo conto della prova scritta e del rendimento nei due progetti. I progetti sono complessivamente valutati fino ad un massimo di 6 punti (3 punti per progetto). La prima parte della prova scritta è valutata fino ad un massimo di 12 punti e la seconda fino ad un massimo di 15 punti. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. La soglia minima per superare l’esame è di 6 punti nella prima parte della prova scritta e di 7,5 punti nella seconda parte della prova scritta. L’esame è superato con una votazione complessiva maggiore o uguale a 18/30. Un punteggio maggiore o uguale a 31/30 comporta l’attribuzione della lode. La valutazione degli studenti che non hanno svolto i progetti verrà effettuata sulla base della prova scritta e di un colloquio orale.