Nella parte del corso dedicata ai metodi variazionali, verranno forniti alcuni strumenti classici di base, per la corretta impostazione di problemi di minimizzazione potenzialmente anche molto generali. Verrà inoltre mostrato come numerosi problemi, pur non nascendo inizialmente dalla minimizzazione di un funzionale, possono essere inquadrati in un contesto variazionale, presentando in tal modo il Calcolo delle Variazioni come uno strumento utile per la risoluzione di problemi di natura molto diversa. Oltre a princìpi e tecniche di tipo generale, verranno presentati numerosi esempi, alcuni dei quali potranno essere approfonditi e studiati in dettaglio.

La parte relativa ai metodi multiscala è invece dedicata ai principi matematici dell'analisi dei segnali, dall'analisi di Fourier discreta fino all'analisi tempo-frequenza e tempo-scala (ondine). Da un punto di vista moderno i segnali sono rappresentati da vettori in uno spazio di Hilbert (di successioni o funzioni) e i problemi di approssimazione, compressione, ecc., si riducono di fatto alla rappresentazione del segnale rispetto ad una base opportuna. Si è quindi interessati alla ricerca di basi ottimali e strutturate, per lo più costruite attraverso operazioni di traslazione, modulazione e dilatazione a partire da una finestra opportuna. I risultati classici della teoria dei segnali (campionamenti, filtri, banchi di filtri, ecc.) possono tutti rileggersi in questo linguaggio analitico-geometrico proprio dell'Analisi Funzionale che, oltre ad essere illuminante in sè, è quello utilizzato nella ricerca corrente in analisi tempo-frequenza e mathematical signal processing.

Capacità di impostare un tipico problema del Calcolo delle Variazioni, in un opportuno spazio funzionale, tenendo conto delle condizioni al bordo.
Capacità di applicare la teoria generale a problemi specifici, per giustificare adeguatamente l’esistenza di una soluzione e ricavare le condizioni di ottimalità da essa verificate.
Capacità di impostare i problemi fondamentali dell’analisi dei segnali in opportuni spazi funzionali e di studiarli con gli strumenti matematici più opportuni.

Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I e II, Geometria, e Analisi Funzionale.

Parte sui metodi variazionali:
Presentazione e impostazione di alcuni problemi classici: isoperimetri, brachistocrona, catenaria e superfici di rotazione di area minima. Cenni storici: il Principio di Dirichlet e il controesempio di Weierstrass.
L'approccio moderno tramite compattezza e semicontinuità: il "metodo diretto" e il ruolo della convessità.
Il quoziente di Rayleigh e applicazioni agli autovalori. Problemi di tipo Sturm-Liouville. Problemi al contorno di tipo diverso.
Derivate di Frechet e Gateaux. Condizioni di ottimalità ed equazioni di Eulero-Lagrange. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Gli spazi di Sobolev come ambiente naturale. Soluzioni classiche e soluzioni deboli. Cenni sulla regolarità nel caso unidimensionale, e ritorno alla soluzione classica.
Applicazioni alla meccanica e Principio di Minima Azione. Cenni di applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. Le equazioni di Laplace e di Poisson.
Problemi vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Ulteriori esempi e applicazioni, e studio dettagliato di alcuni esempi specifici.

Parte sui metodi multiscala:
Richiami su spazi di Hilbert, basi ortonormali. Basi di Riesz.
Analisi di Fourier discreta (trasformata di Fourier a tempo discreto, trasformata zeta, trasformata di Fourier discreta).
Campionamento e interpolazione.
Localizzazione (short-time Fourier transform) e principi di indeterminazione.
Filtri e banchi di filtri.
Basi di ondine di successioni.
Basi di ondine di funzioni.

Il corso consta di lezioni ed esercitazioni in aula. Relativamente alla parte sui metodi multiscala, sono previste anche esercitazioni in laboratorio.

Saranno rese disponibili a portale delle dispense preparate appositamente per il corso.

L’esame, che consiste in una prova orale, ha l’obiettivo di accertare la conoscenza degli argomenti trattati nel corso e la capacità di applicare la teoria generale alla risoluzione di esercizi, sul modello degli esercizi e degli esempi illustrati durante le lezioni e le esercitazioni del corso.