L'Analisi funzionale può essere considerata come l'estensione dell'algebra lineare agli spazi vettoriali di dimensione infinita. Tutte le equazioni integrali o differenziali che si presentano sia negli aspetti puri della matematica che in quelli motivati dalle applicazioni possono essere inquadrate come trasformazioni (lineari o non lineari) fra spazi di funzioni, e quindi fra spazi vettoriali di dimensione infinita. Il primo modulo dell’insegnamento di Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali ha lo scopo di affrontare sistematicamente sia lo studio degli spazi di funzioni sia lo studio delle trasformazioni lineari fra di essi. Il secondo modulo dell’insegnamento offre un’introduzione ai metodi di studio delle equazioni alle derivate parziali come applicazione delle nozioni di Analisi funzionale. Lo studio sarà principalmente rivolto a problemi al contorno o con dati iniziali per equazioni del secondo ordine lineari.

Lo studente acquisirà le basi teoriche su spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev e operatori lineari limitati su tali spazi. Tali nozioni forniranno allo studente gli strumenti matematici essenziali per poter comprendere e affrontare problemi matematicamente complessi nel modo corretto. Lo studente sarà capace di applicare le conoscenze acquisite, in particolare nella trattazione di problemi di equazioni alle derivate parziali di varia natura, sia in ambito classico che variazionale.

Analisi Matematica I e II, Algebra lineare e geometria, Analisi complessa, Topologia.

MODULO I: Analisi Funzionale
Spazio delle funzioni continue su un intervallo: completezza dello spazio C[a,b] rispetto alla norma del massimo, teorema di approssimazione di Weierstrass.
Spazi di Banach: definizione, proprieta’ ed esempi. Spazi l^p e spazi L^p. Lemma di Riesz. Compattezza della palla unitaria in spazi normati.
Spazi di Hilbert: definizioni e proprieta’, Spazi L^2 e l^2. Insiemi ortogonali e basi ortonormali. Proiezioni ortogonali.
Operatori lineari limitati tra spazi normati.
Spazio duale e spazio biduale di uno spazio normato. Caratterizzazione del duale degli spazi l^p e L^p. Teorema di Riesz-Frechet. Convergenze debole e debole *.
Operatore aggiunto di un operatore limitato tra spazi di Hilbert. Operatori unitari, normali e autoaggiunti.
Spettro di un operatore limitato definito su uno spazio di Hilbert: definizione e proprieta’.
Operatori compatti: definizione ed esempi. Spettro di un operatore compatto autoaggiunto su uno spazio di Hilbert.

MODULO II: Equazioni alle derivate parziali
Concetti di base: equazioni lineari, semi-lineari, quasi-lineari, non lineari. Soluzione in senso classico ed in senso debole. Problemi ben posti. Classificazione.
Equazione di Laplace: funzioni armoniche, proprietà di media, formula di Poisson, soluzione fondamentale e funzione di Green.
Distribuzioni e Spazi di Sobolev: definizioni, proprietà, teoremi di densità, di immersione continua e compatta (Disuguaglianza di Poincaré, Teorema di Rellich, Immersioni di Sobolev). Teoremi di prolungamento e tracce nel semispazio. Spazi duali.
Formulazione debole di problemi ellittici: esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati. Significato delle soluzioni deboli e cenni sulla regolarità.
Teoria spettrale per operatori ellittici auto-aggiunti: formulazione astratta ed applicazioni. Il metodo di separazione di variabili.
Formulazione debole di problemi parabolici e iperbolici: spazi di Sobolev dipendenti dal tempo, approssimate di Galerkin, esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati delle soluzioni.

L’insegnamento ha durata annuale ed è organizzato in due moduli didattici. Il primo periodo didattico sarà dedicato al modulo di Analisi Funzionale. Il secondo periodo sarà dedicato al modulo di Equazioni alle derivate parziali.
L’insegnamento prevede lezioni teoriche affiancate da esercitazioni in aula con cadenza settimanale. Ogni modulo sara’ composto da 40 ore di lezioni e 20 ore di esercitazioni.

Testi di riferimento:
H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni. Ed. Liguori.
A. Ferrero, F. Gazzola, M. Zanotti, Elementi di Analisi Superiore per la Fisica e l’Ingegneria, Ed. Esculapio.
L. C. Evans. Partial Differential Equations, AMS.
B. Rynne and M.A. Youngson, Linear Functional Analysis.

Dispense ed esercizi saranno disponibili sul portale della didattica per gli studenti iscritti all’insegnamento.

L’esame è volto ad accertare la conoscenza delle basi teoriche elencate nel programma e la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella soluzione di esercizi teorici e nella trattazione di problemi di analisi funzionale e equazioni alle derivate parziali.
L’esame è costituito da una prova scritta eventualmente seguita da una prova orale.

PROVA SCRITTA: è comprensiva di quesiti teorici ed esercizi sugli argomenti del programma dei due moduli dell’insegnamento. La durata della prova scritta è di un’ora e trenta minuti. Durante lo scritto non si possono portare in aula libri di alcun tipo o appunti del corso.
PROVA ORALE: riguarda gli argomenti del programma e può includere la discussione dello scritto. La prova orale viene effettuata su richiesta del docente o dello studente (in caso di valutazione sufficiente della prova scritta).

Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto, in egual misura, del punteggio conseguito sui quesiti di Analisi Funzionale e di Equazioni alle derivate parziali. La votazione massima è di 30/30 e l’esito è considerato sufficiente se è maggiore o uguale a 18/30.