La progettazione ingegneristica si serve sempre più dei risultati di simulazioni numeriche basate sull'integrazione di equazioni differenziali alle derivate parziali derivate da modelli fisici. Questo è particolarmente vero nel campo della progettazione aerospaziale, dove infatti la fluidodinamica computazionale, il calcolo strutturale e la simulazione di sistemi complessi hanno ottenuto i maggiori successi. Questo corso si propone come un'introduzione ai fondamenti del calcolo numerico e del calcolo scientifico. Verranno descritte le principali tecniche numeriche di base e i metodi in uso per integrare equazioni alle derivate parziali: differenze finite ed elementi finiti per problemi
ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. I metodi studiati verranno poi applicati a problemi semplici, che siano in grado però di illustrare le caratteristiche di uno schema e i principali dettagli di implementazione.

Acquisizione delle tecniche di base del calcolo numerico classico (soluzione numerica di sistemi lineari algebrici, approssimazione, integrazione numerica, equazioni differenziali ordinarie). Conoscenza dei principali strumenti del calcolo scientifico per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali: differenze finite ed elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. Applicazioni a semplici problemi. Competenza necessaria ad analizzare criticamente le simulazioni numeriche di fenomeni fisici fornite da software commerciale.

Una buona base di Analisi Matematica e Geometria, elementi di programmazione (possibilmente in linguaggio Matlab/Octave o C).

Calcolo numerico di base:
- Soluzione di sistemi lineari algebrici
- Interpolazione polinomiale globale e a tratti.
- Integrazione numerica.
- Soluzione di sistemi di equazioni non lineari.
- Soluzione di equazioni alle derivate ordinarie.

Problemi ellittici:
- Differenze finite.
- Formulazione variazionale; condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann.
- Metodo di Galerkin.
- Problema del filo elastico e della trave elastica.
- Problema della membrana elastica.
- Problemi di convezione-diffusione.
- Memorizzazione della triangolazione e assemblaggio del sistema lineare.

Risoluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni:
- Metodo del gradiente e del gradiente coniugato

Problemi parabolici:
- Semidiscretizzazione nello spazio con differenze finite o elementi finiti.
- Discretizzazione nel tempo; metodo di Eulero esplicito e implicito, metodo di Crank-Nicolson.

Problemi iperbolici:
- Equazione del trasporto lineare; condizioni al contorno.
- Leggi di conservazione scalari.
- Metodi numerici per equazioni lineari; metodi di Lax-Friedrichs, Upwind e Lax-Wendroff.

Nelle esercitazioni si approfondiranno gli argomenti svolti a lezione studiando in dettaglio alcune situazioni concrete ed illustrando le tecniche viste a lezione con esercizi. Le esercitazioni di laboratorio affronteranno sia l'implementazione pratica degli algoritmi in ambiente Matlab per casi particolarmente semplici sia lo studio critico dei risultati numerici ottenuti con i metodi proposti.

Il materiale del corso è trattato nelle dispense fornite dal docente. Per una trattazione più completa ed approfondita, si rimanda ai libri seguenti:

- G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT (2008).
- S. Berrone, S. Pieraccini, Esercizi svolti di Calcolo Numerico con introduzione a Matlab, CLUT (2004).
- C. Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Dover Publications (2009).
- R. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag, 1990

L'esame consiste in due prove finali, volte ad accertare l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova in laboratorio informatico, entrambe da svolgersi senza l'uso di appunti o libri. La prova scritta consiste generalmente in 3 esercizi, ciascuno dei quali è articolato in 2-3 domande di carattere sia pratico che teorico, riguardanti tutto il programma del corso. La prova scritta permette di conseguire un punteggio massimo di 22 punti. La prova in laboratorio informatico consiste in un quiz costituito da domande a risposta multipla, riguardanti l'uso dei software Matlab e/o Octave per risolvere problemi numerici della tipologia di quelli affrontati a lezione. Durante lo svolgimento della prova in laboratorio informatico, gli studenti avranno a disposizione il software Matlab e/o Octave. La prova in laboratorio permette di conseguire un punteggio massimo di 10 punti. La durata indicativa di ciascuna prova è di circa un'ora.