The course is taught in English.

L'insegnamento ha lo scopo di presentare i processi stocastici comunemente utilizzati nelle discipline ingegneristiche dell'area delle telecomunicazioni e dell'informatica, sia da un punto di vista teorico che applicativo. Sono descritti i principali processi stocastici a tempo discreto e continuo, con l'ausilio di esempi concreti di applicazione. Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di riformulare problemi pratici in termini matematici, e di calcolare le quantità di interesse mediante metodi o simulazioni. Il corso include un ripasso iniziale dei principali concetti del calcolo delle probabilità.

L’obiettivo formativo è di introdurre gli strumenti matematici e computazionali di base per descrivere e risolvere problemi in cui l’evoluzione temporale di un sistema è aleatoria, come per i tempi di di attesa o di servizio, i tempi di raggiungimento di determinate soglie, il numero di fallimenti o successi in un tempo assegnato o il conteggio del numero di guasti di componenti e sistemi elettronici. Al termine del corso gli studenti saranno in grado di definire e analizzare semplici modelli stocastici in teoria delle code o in teoria dell'affidabilità (delle telecomunicazioni o del software) e provenienti da diversi settori dell’ingegneria. Essi saranno in grado inoltre di capire quali processi stocastici risultano essere più adatti nelle analisi da svolgere, e il significato dei valori assunti dai parametri e degli oggetti matematici ottenibili al termine delle analisi. Ci si aspetta che lo studenti acquisisca sia i metodi matematici che possono dare una soluzione analitica dei problemi studiati, sia i metodi di simulazione numerica necessari quando una soluzione analitica non è praticabile.
La capacità di applicare le conoscenze acquisite sarà verificata mediante le esercitazioni in aula e attraverso lo studio completo di semplici problemi di interesse in ambito ingegneristico.

Prerequisiti indispensabili per il corso sono l'aver frequentato e sostenuto un esame di analisi matematica I e un esame di calcolo di probabilità di base. I concetti di base di calcolo delle probabilità vengono dati per assodati all’inizio dell’insegnamento.

• Complementi di calcolo delle probabilità: distribuzioni notevoli e loro proprietà, funzioni generatrici dei momenti,valori attesi condizionati, misture, statistiche d’ordine - 6 ore.
• Processi di Poisson: definizioni equivalenti, generalizzazioni (non-omogenei, composti, mixed) e cenni ai processi di rinnovo - 10 ore.
• Catene di Markov tempo discreto: matrici di transizione, classificazione degli stati, stazionarietà ed ergodicità, tecniche di aggregazione degli stati, branching processes -12 ore.
• Processi markoviani a tempo continuo, processi di nascita e morte, stazionarietà - 9 ore.
• Moti browniani: definizione e prime proprietà - 3 ore
• Simulazione di processi con Matlab e analisi di alcuni casi studio (tempi di attraversamento di frontiere per diverse tipologie di processi, probabilità di raggiungimento di stati assorbenti per processi intrattabili analiticamente, simulazione di code) – 20 ore

Nella prima parte del corso le lezioni si svolgono in aula con l’ausilio di slides, precedentemente fornite agli studenti. Tali lezioni includono ore di esercizi svolti in classe dal docente. Nella seconda parte del corso le lezioni consisteranno principalmente in attivita’ di simulazione di processi con Matlab, sotto la guida del docente.

Sheldon N. Ross Stochastic processes John Wiley , qualsiasi edizione.
Slides delle lezioni, esercizi, materiale didattico ed esempi di temi d’esame con svolgimento sono disponibili sul sito web del corso.

L'esame consiste in una prova scritta e una eventuale prova orale facoltativa. Lo scritto è costituito da 4 esercizi simili a quelli svolti in aula dal docente (esempi di temi d’esame sono comunque reperibili sul sito web del corso). In tre di questi esercizi viene richiesto di modellare opportunamente un problema e di determinare oggetti di interesse quali distribuzioni stazionare o tempi medi per il raggiungimento di particolari stati, mentre un esercizio ha carattere maggiormente applicativo e richiede la scrittura o l’esecuzione di uno script Matlab atto a simulare un processo e dedurne risultati utili. Il tempo assegnato per la soluzione e' di 2 ore. L'orale può avvenire su richiesta dello studente, purché questi abbia ottenuto una valutazione allo scritto non inferiore a 18/30, e verte sulla teoria presentata a lezione.