Finalità del corso:
Dopo aver introdotto brevemente i principi fondamentali della meccanica statistica e le analogie formali con i problemi di inferenza, il corso si propone di dare una formulazione unificata di diverse teorie di campo medio generalizzate (metodo variazionale a cluster), tradizionalmente utilizzate nell'ambito dei modelli termodinamici su reticolo. Viene considerato come esempio lo studio del diagramma di fase del classico modello di Ising.
Viene poi trattata l'equivalenza tra i metodi di minimizzazione delle energie libere cluster-variazionali e i metodi di inferenza tipo 'message-passing' (Belief Propagation), utili per trattare svariati problemi di inferenza statistica e ottimizzazione combinatoria, fra cui problemi di decodifica di codici correttori, problemi di allocazione di risorse, clustering di dati, eccetera. Viene trattata in dettaglio una di queste applicazioni, a seconda del maggiore interesse degli studenti frequentanti.

Aims of course:
After briefly introducing the fundamental principles of statistical mechanics and some formal analogies with inference problems, the course aims at providing a unified formulation of different generalized mean field theories (cluster variation method), traditionally employed in the framework of thermodynamic lattice models. The analysis of the phase diagram of the classical Ising model is considered as an example.
Subsequently, the course points out the equivalence between minimization methods for cluster-variational free energies and inference methods of the 'message-passing' type (Belief Propagation). The latter are useful for solving several statistical inference and combinatorial optimization problems, such as decoding of error-correcting codes, resourse allocation, data clustering, and so on. One of these applications is treated in detail, according to main interests of students attending the course.

Programma del corso:
1. Principi fondamentali della meccanica statistica. Il principio variazionale termodinamico. Analogie formali con i problemi di inferenza.
2. Metodo variazionale a cluster: approccio euristico ed esempi; approccio assiomatico.
3. Minimizzazione numerica dell'energia libera variazionale: metodo di iterazione naturale e altri metodi a doppio loop. Il caso del modello di Ising.
4. Metodi a singolo loop: Belief Propagation e generalizzazioni.
5. Inferenza statistica e applicazioni interdisciplinari.

Course contents:
1. Fundamental principles of statistical mechanics. The thermodynamic variational principle. Formal analogies with inference problems.
2. Cluster variation method: heuristic approach and examples; axiomatic approach.
3. Numerical minimization of the cluster-variational free energy: natural iteration method and other double-loop methods. The Ising model case.
4. Single-loop methods: Belief Propagation and generalizations.
5. Statistical inference and interdisciplinary applications.