L'insegnamento, obbligatorio per tutti gli studenti, si colloca all'inizio della laurea magistrale in quanto ha la finalità di introdurre gli studenti ai concetti matematici alla base della modellazione dei materiali continui: gas, liquidi non viscosi, viscosi e viscoelastici, solidi, elastici e viscoelastici. Questo corso è quindi considerato come un prerequisito a tutti i corsi di meccanica dei fluidi e dei solidi che gli studenti incontreranno successivamente nel loro percorso di studi.

L'obiettivo principale è quello di rendere l'allievo in grado di comprendere e descrivere il comportamento di sistemi continui. Lo studente sarà quindi in grado di tradurre in termini matematici i problemi relativi al comportamento dei materiali continui deducendo opportuni modelli matematici e di comprendere viceversa, esaminando il modello matematico, a quale materiale quest'ultimo fa riferimento e quindi quali siano le proprietà meccaniche e le proprietà della soluzione del problema matematico che ci si può attendere.

E' richiesta la conoscenza dei fondamenti di calcolo differenziale e integrale in più variabili e di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Cinematica di un mezzo continuo
Spostamento e velocità. Gradiente di deformazione e di velocità di deformazione, parte simmetrica e antisimmetrica.
Decomposizione polare, tensori di Cauchy--Green. Deformazione infinitesima.
Leggi di trasformazione di volumi e superfici.
Derivata materiale.
Superfici singolari, Generalizzazione dei teoremi di Gauss e Stokes.

Equazioni di bilancio
Teorema di Reynolds, condizione di Rankine-Hugoniot.
Leggi di bilancio con superfici di discontinuità. Applicazione all'equazione di Maxwell.
Leggi di bilancio in coordinate euleriane e lagrangiane.
Bilancio di massa.
Bilancio di quantità di moto, primo e secondo teorema di Cauchy.
Bilancio del momento della quantità di moto e simmetria del tensore di Cauchy. Condizioni al bordo.
Bilancio di energia totale, energia cinetica ed energia interna.
Potenza dissipata. Equazione del calore.
Tensore di Piola e legge di trasformazione delle condizioni al bordo.
Energia libera e diseguaglianza di Clausius--Duhem.
Vincoli interni: incomprimibilità ed inestensibilità.
Principio di invarianza della risposta meccanica dall'osservatore.
Simmetrie. Teoremi di rappresentazione di funzioni isotrope.

Equazioni costitutive
Solidi elastici, equazioni costitutive per un mezzo elastico isotropo.
Solidi iperelastici, conservazione dell'energia.
Estensione uniassiale e biassiale
Tensione uniforme
Deformazione di puro taglio di un solido elastico ed effetto Poynting.
Elasticità lineare isotropa. Onde elastiche lineari.
Fluidi perfetti. Onde acustiche.
Fluidi viscosi incomprimibili. Equazioni di Navier--Stokes, soluzioni elementari. Decomposizione di Helmholtz-Hodge.
Fluidi non-Newtoniani: shear thinning. Fluidi di grado n
Viscoelasticità finita e Teoria di Lodge. Modelli BKZ.
Viscoelasticità infinitesima.
Modelli differenziali alla Maxwell. Modelli spring-dashpot.

La disciplina non si presta alla proposizione di numerosi esercizi di impegno limitato. Il volume delle esercitazioni, pertanto, non supererà il 25% delle ore complessive. Verranno invece proposti problemi più ampi che svolti dallo studenti con il supporto del docente costituiranno parte della valutazione finale.

Appunti delle lezioni già a disposizione degli studenti sul portale della didattica
N. Romano and R. Lancellotta, Continuum Mechanics Using Mathematica: Fundamentals, Applications, and Scientific Computing, Birkhauser 2005.
I.S. Liu, Continuum Mechanics, Springer Verlag, 2002.

L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel Programma ufficiale e la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla soluzione di esercizi. Per ogni iscritto l’esame è costituito dallo

1- svolgimento di un esame scritto svolta in aula che consiste di
1a- due esercizi sui primi due capitoli degli appunti delle lezioni (deformazioni e cimenatica dei continui)
1b- una domanda di teoria sui capitoli 3-5 degli appunti delle lezioni (equazioni di bilancio in generale e applicate a sistemi continui ed equazioni costitutive)
(durante lo scritto, che dura due ore, non si possono portare in aula libri di alcun tipo o appunti del corso ed è inutile portare calcolatrici)

2- risoluzione di problemi applicativi da svolgere individualmente a casa. Ogni studente avrà il suo insieme di problemi diverso da tutti gli altri che consisterà di
2a- tre problemi sul comportamento di alcuni continui (solidi elastici, fluidi e viscoelasticità) trattati nei capitoli 6-8 degli appunti
2b- l'identificazione pratica della forma di un'equazione costitutiva per un materiale continuo a partire da dati sperimentali
2c- la deduzione di un'equazione classica in coordinate curvilinee, seguendo quanto contenuto nell'appendice degli appunti delle lezioni.

Ogni esercizio contribuisce alla valutazione finale con un punteggio che varia dai 3 ai 4 punti, tranne la domanda di teoria al punto 1b che vale 5 punti e il problema sulle equazioni curvilinee al punto 2c che vale 7 o 8 punti, di nuovo in funzione della difficoltà.