Il corso si propone di introdurre gli studenti alla teoria matematica della meccanica quale prototipo di formalizzazione analitica rigorosa di fenomeni fisici. Gli argomenti riguardano, nello specifico, la meccanica del corpo rigido e dei sistemi articolati e la meccanica lagrangiana.

Lo studente acquisirà conoscenze di modellistica matematica dei sistemi meccanici e apprenderà i relativi metodi matematici di analisi qualitativa in condizioni sia statiche sia dinamiche.

Familiarità con le metodologie matematiche di base apprese nei corsi di Analisi Matematica I, II e Geometria.

- Richiami di calcolo vettoriale in R^3.
Prodotto scalare e modulo, basi e componenti, cambiamenti di base, prodotto vettoriale, prodotto misto, sistemi di vettori applicati, centro di un sistema di vettori paralleli.

- Richiami di geometria differenziale di curve e superfici.
Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea, terna intrinseca (versori tangente, normale e binormale), parametrizzazione di una superficie, spazio tangente.

- Cinematica del punto.
Traiettoria e legge oraria, velocità, accelerazione.

- Cinematica del corpo rigido
Vincolo di rigidità, configurazioni rigide, teorema di Poisson e velocità angolare, leggi di distribuzione delle velocità e delle accelerazioni, particolari moti rigidi (traslatorio, rototraslatorio, rotatorio, piano), atto di moto, centro istantaneo di rotazione per moti piani, teorema di Chasles.

- Cinematica relativa.
Derivata di un vettore rispetto a due osservatori, legge di composizione delle velocità (teorema di Galileo), legge di composizione delle accelerazioni (teorema di Coriolis), legge di composizione delle velocità angolari.

- Sistemi vincolati.
Classificazione dei vincoli (olonomi, anolonomi, bilateri, unilateri, scleronomi, reonomi), coordinate lagrangiane e gradi di libertà, velocità e spostamenti virtuali.

- Geometria delle aree e delle masse.
Caratteristiche geometriche delle sezioni piane, baricentro, centro di massa, momenti statici, momenti di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, matrice di inerzia, assi principali di inerzia. Esempi di calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane notevoli (rettangolo, quadrato, cerchio, sezioni composte da rettangoli: sezione a T, a doppia T, a U).

- Equazioni cardinali della dinamica.
Sistemi di forze, risultante e momento risultante, lavoro e lavoro virtuale di una forza, lavoro di forze su un sistema olonomo, forze generalizzate, lavoro di forze su un sistema rigido, dinamica del punto materiale, postulato delle reazioni vincolari, vincoli ideali, quantità di moto, momento delle quantità di moto, prima equazione cardinale della dinamica, seconda equazione cardinale della dinamica, espressione del momento delle quantità di moto e della sua derivata temporale per sistemi rigidi, equazioni di Eulero, equazioni pure del moto, integrali primi del moto.

- Statica ed equilibrio.
Prima equazione cardinale della statica, seconda equazione cardinale della statica, principio dei lavori virtuali, statica dei sistemi rigidi, statica dei sistemi olonomi, configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, potenziale e teorema di stazionarietà del potenziale, stabilità (in senso statico), massimi del potenziale.

- Energia cinetica.
Teorema di Koening, espressione dell'energia cinetica per un sistema rigido e per un sistema olonomo, matrice di massa, potenza di forze, teorema dell'energia cinetica, conservazione dell'energia meccanica.

-Meccanica lagrangiana.
Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi, lagrangiana, integrale primo dei momenti cinetici.

-Piccoli moti.
Linearizzazione delle equazioni di Lagrange, pulsazioni e frequenze proprie di oscillazione.

Il corso si articola in:
- lezioni teoriche frontali (50 ore);
- esercitazioni in aula (30 ore).

Durante le esercitazioni si propone agli studenti la risoluzione guidata di problemi principalmente sui seguenti argomenti:
- cinematica del punto e del corpo rigido liberi e vincolati;
- cinematica relativa;
- calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane;
- equazioni cardinali della dinamica;
- equazioni cardinali della statica;
- principio dei lavori virtuali e stazionarietà del potenziale;
- determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema meccanico e discussione della loro stabilità;
- calcolo delle reazioni vincolari in condizioni dinamiche e statiche;
- equazioni di Lagrange;
- linearizzazione delle equazioni del moto nell’intorno di configurazioni di equilibrio stabili.

Nell'ultima parte del corso, durante le esercitazioni si propone altresì la risoluzione di temi d'esame degli anni passati.

P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello. Meccanica Razionale (3a edizione), Springer, 2016.

L'esame è costituito da una prova scritta della durata di 120 minuti, volta a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente sistemi meccanici. La prova è strutturata in due parti:
- una domanda di teoria a risposta libera (5 punti);
- un esercizio sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni (26 punti).

Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L.

Durante lo svolgimento dell'esame è consentito consultare un formulario compilato a cura dello studente, con l'unico vincolo di occupare al massimo una facciata di foglio A4.

L'esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente (se risultato sufficiente allo scritto) oppure a discrezione del docente. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l'applicazione di tecniche risolutive e descrittive sviluppate durante il corso. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti (in più o in meno).