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Mathematical methods for engineers

06BQXOD, 05BQXMQ

A.A. 2019/20

Course Language

Italian

Course degree

1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Physical Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Mathematics For Engineering - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 70
Esercitazioni in aula 30
Teachers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Pellerey Franco Professore Ordinario MAT/06 30 10 0 0 2
Teaching assistant
Espandi

Context
SSD CFU Activities Area context
MAT/05
MAT/06
6
4
A - Di base
A - Di base
Matematica, informatica e statistica
Matematica, informatica e statistica
2018/19
L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, delle trasformate di Fourier e Laplace, ed infine della probabilitÓ discreta e continua. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche; l'insegnamento sarÓ corredato da molti esempi che offriranno spunti per ulteriori approfondimenti.
The course aims at completing the students' education in basic mathematics, by introducing the theory of analytic functions, distributions, Fourier and Laplace transforms, and discrete and continuous probability. Such topics play an essential role in engineering applications. Examples and motivation will be drawn from problems in engineering, offering further insights.
a) Conoscenza e capacitÓ di comprensione Lo studente acquisisce una serie di concetti matematici di base e di strumenti per risolvere problemi di varia natura che spaziano dall'analisi dei segnali allo studio di fenomeni aleatori. La teoria delle distribuzioni fornisce un linguaggio generale e flessibile per trattare i segnali: tale teoria Ŕ l'ambito naturale per lo studio delle trasformate di Fourier e di Laplace. Lo studente apprende le tecniche di base per il calcolo delle trasformate e acquisisce un bagaglio di trasformate fondamentali (delta, treni di delta, funzioni discontinue). La teoria delle funzioni di variabile complessa offre il linguaggio adeguato per lo studio della trasformata di Laplace e gli strumenti avanzati per l'analisi dei fenomeni singolari e per il calcolo degli integrali. Inoltre, lo studente apprende gli strumenti probabilistici necessari per trattare problemi dominati dall'incertezza, tipici dell'analisi di fenomeni non deterministici e del comportamento di variabili in essa coinvolte. b) CapacitÓ di applicare conoscenza e comprensione Al termine dell'insegnamento lo studente potrÓ applicare le tecniche analitiche necessarie per l'analisi dei segnali di qualunque natura essi siano (impulsivi, discontinui, ecc.). SarÓ inoltre in grado di valutare la probabilitÓ del verificarsi di eventi e di effettuare previsioni su fenomeni casuali in ambito ingegneristico. La capacitÓ di applicare le conoscenze acquisite sarÓ verificata mediante discussioni ed esercitazioni in aula.
a) Knowledge and understanding Students are taught some basic mathematical notions and tools for solving various problems ranging from signals analysis to the study of random phenomena. The theory of distributions provides a general language which enables to deal with signals arising in impulsive or discontinuous phenomena: this theory is the natural setting for the study of the Fourier and Laplace transforms. Students learn the techniques for the computation of the transforms of the main distributions: delta Dirac, Dirac comb, and piecewise regular functions included. Complex analysis is the proper setting for the theory of the Laplace transform and is the advanced tool for the analysis of singular phenomena and for the computation of integrals. Moreover, students are provided with the main probabilistic tools necessary for solving problems under uncertainty. They learn how to deal with random phenomena and with the variables involved in them. b) Applying knowledge and understanding At the end of the course students will be able to apply the analytical techniques required for the analysis of the signals of any nature (impulsive, erratic, etc.). Also, they will be expected to have acquired the skills to evaluate the probability of outcomes and extrapolate information useful in solving problems in electronic and telecommunication engineering. The ability to apply the gained knowledge will be verified through class exercises.
E' prerequisito necessario una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi del I e del II anno; nello specifico, del calcolo differenziale e integrale in una o pi¨ variabili.
Students are required to be familiar with the notions and tools of the mathematics courses of the first two years: these include differential and integral calculus of one or several variables.
1. (27 ore) Funzioni di variabile complessa: derivabilitÓ, condizioni di Cauchy-Riemann, integrali su curve. Teorema di Cauchy, formula integrale di Cauchy, sviluppabilitÓ di funzioni analitiche in serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. (15 ore) Teoria delle distribuzioni: definizione ed operazioni fondamentali (operazioni algebriche, traslazione, riscalamento, derivazione), distribuzioni delta, v.p. 1/t, treno di impulsi. Prodotto di convoluzione per funzioni e distribuzioni. 3. (18 ore) Trasformata di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni temperate: definizioni, proprietÓ, antitrasformate, formula di inversione. Trasformate notevoli. 4. (15 ore) Elementi di calcolo combinatorio, misure di probabilitÓ e relative proprietÓ elementari. ProbabilitÓ condizionata e indipendenza. 5. (15 ore) Variabili casuali discrete e assolutamente continue. Alcuni esempi notevoli. Valori attesi. 6. (10 ore) Distribuzioni congiunte. Indipendenza e correlazione.
1. (27h) Function theory of complex variable: differentiability, Cauchy-Riemann equations, line integrals. Cauchy theorem, Cauchy integral formula, Taylor series of analytic functions, Laurent series. Residue theorem, computation of residues and application to the calculation of integrals. 2. (15h) Theory of distributions: definitions and basic operations (algebraic operations, translation, rescaling, derivatives), Dirac delta, p.v.(1/t), Dirac comb. Convolution of functions and distributions. 3. (18h) Fourier and Laplace transforms of functions and tempered distributions: definitions and properties, inverse transforms, inversion formula. Notable transforms. 4. (15h) Combinatorics, probability measures and related elementary properties. Conditional probability and independence. 5. (15h) Discrete and continuous random variables. Notable examples. Expected values. 6. (10h) Joint distribution, independence and correlation.
Le esercitazioni seguiranno gli argomenti delle lezioni; in parte saranno svolte alla lavagna dal personale docente, in parte richiederanno la partecipazione degli allievi.
Exercises will cover the topics of the lectures. Some of them will be carried out by the teacher at the blackboard, others will actively involve the students.
Saranno utilizzate dispense ed esercizi disponibili in rete. Per la parte di probabilitÓ si consiglia il testo: Ross, S. 'Calcolo delle ProbabilitÓ', Ed. Apogeo, 2013 (o qualsiasi altra edizione).
Lecture notes will be available in the course web page. Recommended textbook in probability: Ross, S. 'Calcolo delle ProbabilitÓ', Ed. Apogeo, 2013 (or any other edition).
ModalitÓ di esame: prova scritta; prova orale facoltativa;
L'esame finale Ŕ scritto. Una prova orale Ŕ opzionale su richiesta dello studente o a discrezione del docente. La durata dell'esame scritto Ŕ di due ore. Durante la prova scritta gli studenti possono utilizzare solo una calcolatrice e dei formulari forniti dai docenti. La prova scritta Ŕ costituita da due parti: 1. dieci quiz a risposta multipla, di cui sei di analisi e quattro di calcolo delle probabilitÓ; 2. due esercizi, uno di analisi e uno di calcolo delle probabilitÓ, ciascuno composto da pi¨ domande. Per ogni quiz ci sono quattro possibili risposte, una sola delle quali Ŕ corretta. L'obiettivo dei quiz a risposta multipla Ŕ verificare l'apprendimento dei concetti di base di entrambi i moduli in cui Ŕ articolato il corso. Ogni quiz Ŕ valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, cosý che il punteggio massimo della parte quiz Ŕ pari a 10 punti. Lo scopo degli esercizi della seconda parte Ŕ verificare la conoscenza e la capacitÓ di trattare problemi di analisi complessa, distribuzioni, trasformate di Fourier e di Laplace, probabilitÓ, variabili aleatorie e valori attesi. Il punteggio massimo dell'esercizio di analisi Ŕ 13 punti, quello dell'esercizio di calcolo delle probabilitÓ Ŕ 9 punti. La prova scritta si considera superata se il suo risultato Ŕ superiore o uguale a 18/30, con almeno 4/30 acquisiti nella parte di probabilitÓ ed almeno 6/30 acquisiti nella parte di analisi. Se il punteggio totale Ŕ non superiore a 30 esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se Ŕ 31 o 32, il voto finale Ŕ 30 o 30 e lode rispettivamente. Solo gli studenti che hanno superato la prova scritta possono chiedere di sostenere anche la prova orale. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa pu˛ comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione dello studente.
Exam: written test; optional oral exam;
The final exam is written. An oral exam is optional on students' request or at the discretion of the instructor. The written exam is two hour long. Students are allowed to use only a non-programmable calculator and the formulae sheets provided by the instructors. The written exam is composed of two parts: 1. ten multiple-choice quizzes, six of which in analysis and four in probability; 2. two exercises, one in analysis and one in probability, composed of different questions. For each quiz, four possible answers are shown, only one of which is correct. The goal of the multiple choice test is to verify the understanding of the fundamental basic concepts of the analysis and probability parts. Each answer to the test is evaluated 1 point if correct and 0 otherwise. Thus the maximum score to the test is 10. The scope of the exercises of the second part is to verify the knowledge and capability to treat problems involving complex analysis, distributions theory, Fourier and Laplace transforms, probability, random variables and expected values. The exercise in analysis is evaluated maximum 13 points, the one in probability 9 points. To pass the written part of the exam students have to totalize at least 18/30, with at least 4/30 in probability and at least 6/30 in analysis. If the sum of the two parts of the exam is less or equal to 30, it represents the final mark. If it is 31 or 32, the final mark is 30 or 30 with honor (30L) respectively. Only students who passed the written exam can ask to be admitted to the oral exam. In particular, if an oral exam is asked and performed, it becomes part of the evaluation together with the written part. Depending on the performance of the student, the final mark could be less, equal or greater than the total score of the written exam.


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