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PORTALE DELLA DIDATTICA

Mathematical methods for engineers

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A.A. 2019/20

2019/20

Metodi matematici per l'ingegneria

L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, delle distribuzioni, delle trasformate di Fourier e Laplace e infine della probabilità discreta e continua. Questi argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche. L'insegnamento sarà corredato da molti esempi tratti da problemi di ingegneria elettronica e delle telecomunicazioni, che offriranno spunti per ulteriori approfondimenti.

Metodi matematici per l'ingegneria

The course aims at completing the students' education in basic mathematics by introducing the theory of analytic functions, distributions, Fourier and Laplace transforms and discrete and continuous probability. Such topics play an essential role in engineering applications. Examples and motivations offering further insights will be drawn from problems in electronic and telecommunication engineering.

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Lo studente acquisisce concetti e strumenti matematici di base per risolvere problemi di varia natura, che spaziano dall'analisi dei segnali allo studio dei fenomeni aleatori. La teoria delle distribuzioni fornisce un linguaggio generale e flessibile per trattare i segnali di qualunque natura essi siano (impulsivi, discontinui, ecc.): tale teoria è l'ambito naturale per lo studio delle trasformate di Fourier e di Laplace. Lo studente apprende le tecniche di base per il calcolo delle trasformate e acquisisce un bagaglio di trasformate fondamentali (delta, treni di delta, segnali discontinui). La teoria delle funzioni di variabile complessa offre il linguaggio adeguato per lo studio della trasformata di Laplace e gli strumenti avanzati per l'analisi dei fenomeni singolari e per il calcolo degli integrali. Inoltre, lo studente apprende gli strumenti probabilistici necessari per trattare problemi dominati dall'incertezza, tipici dell'analisi di fenomeni non deterministici e del comportamento di variabili in essa coinvolte. Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di valutare la probabilità del verificarsi di eventi e di effettuare previsioni su fenomeni casuali nell'ambito dell'ingegneria elettronica e delle telecomunicazioni.

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Students are taught basic mathematical notions and tools useful to solve various problems ranging from signal analysis to the study of random phenomena. The theory of distributions provides a general language to deal with signals arising in impulsive and discontinuous phenomena. This theory is the natural setting for the study of the Fourier and Laplace transforms. Students will learn the techniques for the computation of the transforms of the main distributions, including Dirac delta, Dirac comb and piecewise regular signals. Complex analysis is the proper setting for the theory of the Laplace transform and is the advanced tool for the analysis of singular phenomena and for the computation of integrals. Moreover, students will be provided with the main probabilistic tools necessary for solving problems under uncertainty. They will learn how to deal with random phenomena and with the variables involved in them. At the end of the course, students will be expected to be able to evaluate the probability of outcomes and extrapolate information useful in solving problems in electronic and telecommunication engineering.

Metodi matematici per l'ingegneria

È prerequisito necessario una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi dei primi due anni; nello specifico, del calcolo differenziale e integrale in una o più variabili.

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Students are required to be familiar with the notions and tools of the mathematics courses of the first two years: these include differential and integral calculus in one and several variables.

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1. Funzioni di variabile complessa: derivabilità, condizioni di Cauchy-Riemann, integrali su curve. Teorema di Cauchy, formula integrale di Cauchy, sviluppabilità di funzioni analitiche in serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. Teoria delle distribuzioni: definizione ed operazioni fondamentali (operazioni algebriche, traslazione, riscalamento, derivazione), delta di Dirac, treno di impulsi, convoluzione di segnali, sistemi LTI e risposta all'impulso, relazione ingresso-uscita per sistemi LTI. 3. Trasformata di Fourier e Laplace per segnali e distribuzioni temperate: definizioni, contenuto in frequenza di un segnale, proprietà, antitrasformate, formula di inversione, dualità tempo-frequenza, trasformate notevoli (incluse quelle della delta di Dirac e del treno di impulsi), applicazione ai sistemi LTI, funzione di trasferimento. 4. Elementi di calcolo combinatorio, misure di probabilità e relative proprietà elementari. Probabilità condizionata e indipendenza. 5. Variabili casuali discrete e assolutamente continue. Alcuni esempi notevoli. Valori attesi. 6. Distribuzioni congiunte. Indipendenza e correlazione.

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1. Functions of complex variable: differentiability, Cauchy-Riemann conditions, line integrals. Cauchy theorem, Cauchy integral formula, Taylor series of analytic functions, Laurent series. Residue theorem, computation of residues and application to the calculation of integrals. 2. Theory of distributions: definitions and basic operations (algebraic operations, translation, scaling, derivatives), Dirac delta, Dirac comb, convolution of signals, LTI systems and impulse response function, input-output relationship for LTI systems. 3. Fourier and Laplace transforms of signals and tempered distributions: definitions, frequency content of a signals, properties, inverse transforms, inversion formula, time-frequency duality, special transforms (including those of the Dirac delta and of the Dirac comb), application to LTI systems, transfer function. 4. Combinatorics, probability measures and related elementary properties. Conditional probability and independence. 5. Discrete and continuous random variables. Notable examples. Expected values. 6. Joint distribution, independence and correlation.

Metodi matematici per l'ingegneria

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Metodi matematici per l'ingegneria

Le esercitazioni seguiranno gli argomenti svolti a lezione. In parte riguarderanno l'utilizzo delle tecniche matematiche sviluppate durante le lezioni teoriche, in parte proporranno esempi di applicazione delle nozioni teoriche a questioni di interesse per l'Ingegneria Elettronica.

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Exercises will cover the topics of the lectures. Some of them will consist in the use of the mathematical techniques developed during the theoretical lectures; others will present examples of applications of the theoretical concepts to problems in the context of Electronic Engineering.

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- M. Codegone. Metodi matematici per l'ingegneria. Zanichelli, 1995. - S. Ross. Calcolo delle probabilità. Apogeo, 2013. Saranno inoltre rese disponibili dispense tramite il Portale della Didattica.

Metodi matematici per l'ingegneria

- M. Codegone. Metodi matematici per l'ingegneria. Zanichelli, 1995. - S. Ross. Calcolo delle probabilità. Apogeo, 2013. Lecture notes will also be available in the course web page.

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Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa;

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L'esame finale è scritto. Una prova orale è opzionale su richiesta dello studente o per libera decisione del docente, nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La durata dell'esame scritto è di due ore. Durante la prova scritta gli studenti possono utilizzare solo una calcolatrice e formulari forniti dai docenti. La prova scritta è costituita di due parti: 1. dieci quiz a risposta multipla, di cui sei di analisi e quattro di calcolo delle probabilità; 2. due esercizi, uno di analisi e uno di calcolo delle probabilità, ciascuno articolato in più domande. Per ogni quiz ci sono quattro possibili risposte, una sola delle quali è corretta. L'obiettivo dei quiz a risposta multipla è verificare l'apprendimento dei concetti di base di entrambi i moduli in cui è articolato il corso. Ogni quiz è valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, cosicché il punteggio massimo della parte quiz è pari a 10 punti. Lo scopo degli esercizi della seconda parte è verificare la conoscenza e la capacità di trattare problemi di analisi complessa, distribuzioni, trasformate di Fourier e di Laplace, probabilità, variabili aleatorie e valori attesi. Il punteggio massimo dell'esercizio di analisi è 13 punti, quello dell'esercizio di calcolo delle probabilità è 9 punti. La prova scritta si considera superata se il suo risultato è maggiore o uguale a 18/30, con almeno 6/30 acquisiti nella parte di analisi e almeno 4/30 acquisiti nella parte di probabilità. Se il punteggio totale è non superiore a 30 esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se è 31 o 32, il voto finale è 30 o 30 e lode, rispettivamente. Solo gli studenti che hanno superato la prova scritta possono chiedere di sostenere anche la prova orale. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione dello studente.

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Exam: written test; optional oral exam;

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The final exam is written. An oral exam is optional upon student request or at the discretion of the teacher. The written exam is two hour long. Students are allowed to use only a non-programmable calculator and the formulae sheets provided by the teachers. The written exam is composed of two parts: 1. ten multiple-choice quizzes, six of which in analysis and four in probability; 2. two exercises, one in analysis and one in probability, composed of several questions. For each quiz, four possible answers are provided, only one of which is correct. The goal of the multiple choice test is to check the understanding of the fundamental basic concepts of the analysis and probability parts. Each answer to the test is evaluated 1 point if correct and 0 otherwise, thus the maximum score at the test is 10. The aim of the exercises of the second part is to check the knowledge and ability to treat problems involving complex analysis, distributions theory, Fourier and Laplace transforms, probability, random variables and expected values. The exercise in analysis is evaluated at most 13 points, the one in probability at most 9 points. To pass the written part of the exam students have to score at least 18/30, with at least 6/30 in analysis and at least 4/30 in probability. If the sum of the two parts of the exam is less or equal to 30, it represents the final mark. If it is 31 or 32, the final mark is 30 or 30 with merit (30L), respectively. Only students who passed the written exam may ask to be admitted to the oral exam. In particular, if an oral exam is asked and performed, it becomes part of the evaluation together with the written part. Depending on the performance of the student, the final mark may be lower, equal or greater than the total score of the written exam.



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